Vater, Mutter und sieben Kinder, alle verhartzt

[the notorious iglu]

Ihr steht 3157 Euro zu, und sie kriegt nur 2526 Euro.

So funktioniert das nicht. Hier ist Folgendes passiert. Der Bedarf von einigen der sieben Kinder ist gedeckt. Der Überhang daraus wird der Mutter als Einkommen angerechnet, das wiederum ihren eigenen Bedarf deckt oder teilweise deckt.
Du denkst, dass sich der Bedarf in jedem Fall kumulativ anhäuft. Das ist eine falsche Prämisse.

Ohne Erwerbseinkommen können sie realistisch ihre finanzielle Situation nicht verbessern

Man kann es drehen wie man will.

Es gibt noch die Möglichkeit ein Einkommen zu erzielen, das auf ALG II nicht angerechnet wird. Zum Beispiel könnte sich jemand überfahren lassen und Schmerzensgeld kassieren. Oder jemand erblindet und hat dann einen Anspruch auf Blindengeld.